Pada bulan Maret, tim ahli matematika mengumumkan solusi mereka untuk masalah bertingkat: Mereka telah menemukan “einstein” yang sulit dipahami — sebuah bentuk tunggal yang melapisi sebuah bidang, atau permukaan datar dua dimensi yang tak terhingga, tetapi hanya dalam pola yang tidak berulang. “Saya selalu ingin membuat penemuan,” kata David Smith, penghobi bentuk yang penemuan aslinya memicu penelitian tersebut, saat itu.
Tuan Smith dan rekan-rekannya menamakan einstein mereka “topi”. (Istilah “einstein” berasal dari bahasa Jerman “ein stein”, atau “satu batu” – lebih longgar, “satu ubin” atau “satu bentuk”.) Sejak saat itu menjadi makanan untuk Jimmy Kimmel, tirai mandi, selimut , bola sepak dan pemotong kue, di antara barang-barang kecil lainnya. Festival topi yang terjadi di Universitas Oxford pada bulan Juli.
“Siapa yang akan percaya bahwa poligon kecil dapat menimbulkan keributan seperti itu,” kata Marjorie Senechal, ahli matematika di Smith College yang menjadi pembicara dalam acara tersebut.
Para peneliti mungkin telah puas dengan penemuan dan hullabaloo, dan dibiarkan begitu saja. Tapi Tuan Smith, dari Bridlington di East Yorkshire, Inggris, dan dikenal sebagai “pengotak-atik imajinatif,” tidak bisa berhenti mengutak-atik. Sekarang, dua bulan kemudian, tim telah meningkatkan diri dengan a einstein yang baru dan lebih baik. (Makalah untuk kedua hasil belum ditinjau oleh rekan sejawat.)
Pengejaran pemasangan ubin ini pertama kali dimulai pada tahun 1960-an, ketika ahli matematika Hao Wang menduga bahwa tidak mungkin menemukan sekumpulan bentuk yang dapat menyusun bidang hanya secara aperiodik. Muridnya Robert Berger, sekarang seorang pensiunan insinyur listrik di Lexington, Mass., melanjutkan untuk menemukan satu set 20.426 ubin yang melakukannya, diikuti oleh satu set 104. Pada tahun 1970-an, Sir Roger Penrose, seorang ahli fisika matematika di Oxford, telah membawanya ke dua.
Dan kemudian datanglah topi monotile. Tapi ada pertengkaran.
Dr Berger (antara lain, termasuk para peneliti dari makalah baru-baru ini) mencatat bahwa ubin topi menggunakan pantulan – itu termasuk ubin berbentuk topi dan gambar cerminnya. “Jika Anda ingin pilih-pilih, Anda bisa mengatakan, itu sebenarnya bukan satu set ubin, itu set dua ubin, di mana ubin lainnya kebetulan merupakan cerminan dari yang pertama,” kata Dr. Berger .
“Sampai batas tertentu, pertanyaan ini adalah tentang ubin sebagai objek fisik daripada abstraksi matematis,” tulis para penulis di makalah baru. “Topi yang dipotong dari kertas atau plastik dapat dengan mudah dibalik dalam tiga dimensi untuk mendapatkan pantulannya, tetapi ubin keramik yang mengkilap tidak bisa.”
Penemuan monotile baru tidak menggunakan refleksi. Dan para peneliti tidak perlu mencari jauh untuk menemukannya – itu adalah “kerabat dekat topi,” catat mereka.
“Saya tidak terkejut bahwa ubin seperti itu ada,” kata rekan penulis Joseph Myers, seorang pengembang perangkat lunak di Cambridge, Inggris. “Yang satu itu sangat dekat hubungannya dengan topi itu mengejutkan.”
Awalnya, tim menemukan bahwa topi itu adalah bagian dari rangkaian morphing – bentuk tak terhingga yang tak terhitung, diperoleh dengan menambah dan mengurangi tepi topi – yang menghasilkan ubin aperiodik menggunakan pantulan.
Tapi ada pengecualian, “anggota nakal dari kontinum,” kata Craig Kaplan, rekan penulis dan ilmuwan komputer di University of Waterloo. Bentuk ini, secara teknis dikenal sebagai Ubin (1,1), dapat dianggap sebagai versi topi yang sama sisi dan dengan demikian bukan monotil aperiodik. (Ini menghasilkan ubin periodik sederhana.) “Agak konyol dan menakjubkan bahwa bentuk itu kebetulan memiliki kekuatan super tersembunyi,” kata Dr. Kaplan – kekuatan super yang membuka kunci penemuan baru.
Terinspirasi oleh eksplorasi oleh Yoshiaki Araki, presiden Asosiasi Desain Tessellation Jepang di Tokyo, Mr. Smith mulai mengutak-atik Tile (1,1) tak lama setelah penemuan pertama diposting online pada bulan Maret. “Saya memotong bentuk dari kartu dengan mesin, untuk melihat apa yang mungkin terjadi jika saya hanya menggunakan ubin yang tidak dipantulkan,” katanya melalui email. Ubin yang dipantulkan dilarang “oleh fiat”, seperti yang dikatakan oleh penulisnya.
Tuan Smith berkata, “Tidak lama kemudian saya menghasilkan tambalan yang cukup besar” – menyatukan ubin seperti teka-teki gambar, tanpa tumpang tindih atau celah. Dia tahu dia sedang melakukan sesuatu.
Menyelidiki lebih lanjut — dengan kombinasi penalaran dan gambar matematika tradisional, ditambah pekerjaan tangan komputasi oleh Dr. Kaplan dan Dr. Myers — tim membuktikan bahwa pemasangan ubin ini memang aperiodik.
“Kami menyebutnya ‘monotil aperiodik kiral lemah,’” Dr. Kaplan menjelaskan di media sosial. “Ini aperiodik di alam semesta bebas refleksi, tetapi ubin secara berkala jika Anda diizinkan menggunakan refleksi.”
Kata sifat “kiral” berarti “tangan”, dari bahasa Yunani “kheir”, untuk “tangan”. Mereka menyebut ubin aperiodik baru “kiral” karena secara eksklusif terdiri dari ubin tangan kiri atau kanan. “Anda tidak dapat menggabungkan keduanya,” kata Chaim Goodman-Strauss, rekan penulis dan ahli matematika di National Museum of Mathematics di New York.
Tim kemudian melakukan yang lebih baik: Mereka menghasilkan keluarga monotil aperiodik yang kuat atau “benar-benar kiral” melalui modifikasi sederhana ubin T(1,1): Mereka mengganti tepi lurus dengan kurva.
Dinamakan “Spectres,” monotile ini, karena konturnya yang melengkung, hanya memungkinkan ubin nonperiodik, dan tanpa pantulan. “Spectre yang kidal tidak dapat mengunci dengan gambar cermin tangan kanannya,” kata Dr. Kaplan.
“Sekarang tidak ada keraguan apakah set ubin aperiodik memiliki satu atau dua ubin,” kata Dr. Berger melalui email. “Sungguh memuaskan melihat einstein keramik berlapis kaca.”
Doris Schattschneider, ahli matematika di Moravian University, berkata, “Ini lebih seperti yang saya harapkan dari monotil aperiodik.” Pada tile listserv, dia baru saja melihat “Escherisasi” yang lucu (setelah artis Belanda MC Escher) dari ubin Spectre oleh Dr. Araki, yang menyebutnya “babi berkepala dua.”
“Ini tidak sederhana seperti topinya,” kata Dr. Schattschneider. “Ini ubin yang sangat aneh. Ini terlihat seperti kesalahan alam.”
